Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de 60^circ.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide regular com bases hexagonais paralelas. Dados principais:
  • lado da base maior: a1=10 cm
  • o tronco tem altura H igual ao apótema da base maior
  • as faces laterais formam com o plano da base maior um ângulo diedro de 60^circ
Vamos precisar de:
  1. apótema da base maior r1 e apótema da base menor r2
  2. relação do ângulo diedro para achar r2
  3. lado da base menor a2 via r2
  4. altura lateral (escama) s de cada face
  5. cálculo da área lateral e das duas bases

Passo 2

Calcular o apótema da base maior e confirmar H. Para um hexágono regular de lado a1 vale
r1 = a1raiz32 = 10raiz32 = 5raiz3
Como H é igual a esse apótema, temos
H = 5raiz3

Passo 3

Determinar o apótema da base menor usando o ângulo diedro de 60^circ. Sejam dois planos (base e face lateral) cuja interseção é uma aresta da base. O diedro de 60^circ equivale a
alpha = arctan!l(Hr1 - r2r)=60^circ Longrightarrow Hr1 - r2 = tan60^circ = raiz3
Logo
r1 - r2 = Hraiz3 = 5raiz3raiz3 = 5 Longrightarrow r2 = r1 - 5 = 5raiz3 - 5

Passo 4

Achar o lado da base menor a2. A relação entre lado e apótema num hexágono é
r2 = a2raiz32 Longrightarrow a2 = 2,r2raiz3 = 2,(5raiz3-5)raiz3 = 10(3-raiz3)3

Passo 5

Calcular a altura lateral (slant height) s de cada face. Ela é a hipotenusa do triângulo de catetos H (vertical) e r1-r2 (horizontal):
s = raiz(r1-r2)^2 + H^2 = raiz5^2 + (5raiz3)^2 = raiz25 + 75 = 10

Passo 6

Área lateral do tronco: são 6 trapézios de bases a1 e a2 e altura s. A área total lateral é
Alat = 6 times (a1+a2),s2 = 3,(a1+a2),s
Substituindo a1=10, a2=tfrac10(3-raiz3)3 e s=10,
a1 + a2 = 10 + 10(3-raiz3)3 = 60 -10raiz33,
Alat = 3 cdot 60-10raiz33 cdot 10 = 10,(60-10raiz3) = 600 - 100raiz3

Passo 7

Área das bases hexagonais. Cada base tem área
Ahex = 3raiz32,(lado)^2
Para a base maior:
A1 = 3raiz32,10^2 = 150raiz3
Para a base menor, com lado a2:
A2 = 3raiz32,l(a2r)^2 = 200raiz3 - 300

Passo 8

Somar as áreas:
Atotal = A1 + A2 + Alat = 150raiz3 + (200raiz3-300) + (600-100raiz3) = 300 + 250raiz3

Resposta

A área total do tronco é
300 + 250raiz3;cm^2

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