Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de
.
Passo 1
O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide regular com bases hexagonais paralelas. Dados principais:
- lado da base maior:
cm - o tronco tem altura
igual ao apótema da base maior - as faces laterais formam com o plano da base maior um ângulo diedro de
Vamos precisar de:
- apótema da base maior
e apótema da base menor - relação do ângulo diedro para achar
- lado da base menor
via - altura lateral (escama)
de cada face - cálculo da área lateral e das duas bases
Passo 2
Calcular o apótema da base maior e confirmar
. Para um hexágono regular de lado
vale
Como
é igual a esse apótema, temos
Passo 3
Determinar o apótema da base menor usando o ângulo diedro de
. Sejam dois planos (base e face lateral) cuja interseção é uma aresta da base. O diedro de
equivale a
Logo
Passo 4
Achar o lado da base menor
. A relação entre lado e apótema num hexágono é
Passo 5
Calcular a altura lateral (slant height)
de cada face. Ela é a hipotenusa do triângulo de catetos
(vertical) e
(horizontal):
Passo 6
Área lateral do tronco: são 6 trapézios de bases
e
e altura
. A área total lateral é
Substituindo
,
e
,
Passo 7
Área das bases hexagonais. Cada base tem área
Para a base maior:
Para a base menor, com lado
:
Passo 8
Somar as áreas:
Resposta
A área total do tronco é