Determine a área do triângulo A B C, onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN , NP e PM , sendo M(1,-5), N (3,3) e P(9,-5).

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são os pontos médios das arestas de um triângulo original MNP.
Conteúdo: geometria analítica no plano, mais precisamente uso da fórmula do ponto médio e da fórmula de área de triângulo via determinante (shoelace).
Plano:
  • Usar a fórmula do ponto médio
  • Usar a fórmula da área de triângulo em coordenadas

Passo 2

Calcular os vértices A, B e C como pontos médios de MN, NP e PM, respectivamente.
Fórmula do ponto médio: dados X=(x1,y1) e Y=(x2,y2), o ponto médio é
gl(x1+x22,,y1+y22gr)
Aplicando:
A =médio(M,N) =l(tfrac1+32,,tfrac-5+32r) =(2,,-1), é
B =médio(N,P) =l(tfrac3+92,,tfrac3+(-5)2r) =(6,,-1), é
C =médio(P,M) =l(tfrac9+12,,tfrac-5+(-5)2r) =(5,,-5) é

Passo 3

Calcular a área de ABC usando a fórmula do determinante:
Área = 12l|xA(yB - yC)+xB(yC - yA)+xC(yA - yB)r| Á
Substituindo (xA,yA)=(2,-1), (xB,yB)=(6,-1), (xC,yC)=(5,-5):
Área &= 12l|2l(-1-(-5)r) +6l(-5-(-1)r) +5l(-1-(-1)r)r| &= 12l|2cdot4 + 6cdot(-4) + 5cdot0r| = 12l|8 -24r| = 12cdot16 =8 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é 8.

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