Determine a área de um triângulo retângulo isósceles, sabendo que sua hipotenusa é igual à oitava parte do perímetro de um quadrado inscrito em um círculo de raio 2 r.
Passo 1
O enunciado pede a área de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa vale um oitavo do perímetro de um quadrado inscrito num círculo de raio
. Vamos usar geometria de polígonos inscritos para achar a hipotenusa e depois as relações do triângulo isósceles retângulo.
Passo 2
Para o quadrado inscrito num círculo de raio
, o diâmetro do círculo é igual à diagonal do quadrado, ou seja,
Como a diagonal de um quadrado de lado
satisfaz
, temos
O perímetro do quadrado é então
Passo 3
A hipotenusa do triângulo vale um oitavo desse perímetro:
Passo 4
Num triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento
e a hipotenusa satisfaz
. Igualando a
, vem
A área do triângulo é