Determine a área de um triângulo retângulo isósceles, sabendo que sua hipotenusa é igual à oitava parte do perímetro de um quadrado inscrito em um círculo de raio 2 r.

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa vale um oitavo do perímetro de um quadrado inscrito num círculo de raio 2r. Vamos usar geometria de polígonos inscritos para achar a hipotenusa e depois as relações do triângulo isósceles retângulo.

Passo 2

Para o quadrado inscrito num círculo de raio 2r, o diâmetro do círculo é igual à diagonal do quadrado, ou seja,
diagonal = 2cdot(2r) = 4r
Como a diagonal de um quadrado de lado s satisfaz diagonal=sraiz2, temos
sraiz2 = 4r Longrightarrow s = 4rraiz2 = 2raiz2,r
O perímetro do quadrado é então
P = 4s = 4cdot(2raiz2,r) = 8raiz2,r

Passo 3

A hipotenusa do triângulo vale um oitavo desse perímetro:
h = 18P = 18cdot 8raiz2,r = raiz2,r

Passo 4

Num triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento x e a hipotenusa satisfaz h = xraiz2. Igualando a h=raiz2,r, vem
xraiz2 = raiz2,r Longrightarrow x = r
A área do triângulo é
A = 12x^2 = 12r^2

Resposta

r^22

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