Determine as áreas dos segmentos circulares cujas medidas dos arcos são dadas abaixo, sendo 12 m o raio do círculo.
a) 60^circ
b) 90^circ
c) 135^circ
d) 150^circ

Passo 1

O enunciado pede a área do segmento circular para um círculo de raio r=12 m, cujos arcos centrais têm medidas de 60^circ, 90^circ, 135^circ e 150^circ. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do segmento circular, que é a área do setor menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.

Passo 2

Seja theta o ângulo central em radianos.
A área do setor é
12r^2theta
e a área do triângulo isósceles é
12r^2sintheta
Então a área do segmento é
Aseg=r^22l(theta-sinthetar)

Passo 3

Para 60^circ temos theta=pi3 e sintheta=raiz32.
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Aseg= 1442l(pi3-raiz32r) =72l(pi3-raiz32r) =24pi-36raiz3

Passo 4

Para 90^circ temos theta=pi2 e sintheta=1.
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Aseg=72l(pi2-1r) =36pi-72

Passo 5

Para 135^circ temos theta=3pi4 e sintheta=raiz22.
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Aseg=72l(3pi4-raiz22r) =54pi-36raiz2

Passo 6

Para 150^circ temos theta=5pi6 e sintheta=12.
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Aseg=72l(5pi6-tfrac12r) =60pi-36

Resposta

a) 24pi - 36raiz3 m^2
b) 36pi - 72 m^2
c) 54pi - 36raiz2 m^2
d) 60pi - 36 m^2

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