Determine se cada uma das definições propostas abaixo é uma definição recursiva válida de uma função f a partir do conjunto dos números inteiros não negativos para o conjunto dos números inteiros. Se f for bem definida, encontre uma fórmula para f(n) quando n for um número inteiro não negativo e demonstre que sua fórmula é válida.
f(0)=1, f(n)=f(n-1)-1 para n \geq 1

Passo 1

O enunciado define uma função \displaystyle f\colon \mathbb{N}_0\to\mathbb{Z}
por
f(0)=1, \quad f(n)=f(n-1)-1\quad(n\ge1).
O conteúdo é definição recursiva (ou primitiva) de função em \mathbb{N}_0.

Passo 2

Para ser uma definição recursiva válida, precisamos de:
  1. Um valor inicial em \mathbb{N}_0, aqui f(0)=1\in\mathbb{Z}.
  2. Uma regra que para cada n\ge1 expressa f(n) em termos de valores já definidos f(n-1), garantindo que todo n em \mathbb{N}_0 receba um valor em \mathbb{Z}.
    A condição está satisfeita, logo a definição é válida.

Passo 3

Vamos calcular alguns valores para ver um padrão: \displaystyle f(0)=1 \displaystyle f(1)=f(0)-1=1-1=0 \displaystyle f(2)=f(1)-1=0-1=-1 \displaystyle f(3)=f(2)-1=-1-1=-2
Parece que a cada passo subtraímos 1, então suspeitamos
f(n)=1-n.

Passo 4

Conjecturamos que
f(n)=1-n
para todo n\in\mathbb{N}_0.

Passo 5

Vamos provar por indução em n que \;f(n)=1-n.
Base n=0: pela definição f(0)=1 e 1-0=1, ok.
Passo indutivo: suponha f(k)=1-k para certo k\ge0.
Então para k+1\ge1 vale
f(k+1)=f(k)-1=(1-k)-1=1-(k+1).
Assim a fórmula mantém-se para k+1. Por indução, vale para todo n.

Resposta

A definição é válida e a fórmula fechada é
\boxed{f(n)=1-n.}

Exercícios de Livros Relacionados