Determine se cada uma das definições propostas a seguir é uma definição recursiva válida de uma função f a partir do conjunto dos números inteiros não negativos para o conjunto dos números inteiros. Se f for bem definida, encontre uma fórmula para f(n) quando n for um número inteiro não negativo e demonstre que sua fórmula é válida.
f(0)=1, f(n)=-f(n-1) para n \geq 1

Passo 1

O enunciado define recursivamente a função f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{Z} por
f(0)=1, \quad f(n)=-f(n-1)\quad\text{para }n\ge1.
O conteúdo aqui é definição recursiva e prova por indução. Vamos verificar se a definição é válida e encontrar uma fórmula fechada para f(n).

Passo 2

Para ser uma definição recursiva válida precisamos de um caso base e de uma regra que expresse cada f(n) em termos de valores anteriores. Aqui temos o caso base f(0)=1 e, para todo n\ge1, a regra
f(n)=-f(n-1),
que depende apenas de f(n-1). Logo, a definição é bem formulada e garante existência e unicidade de f.

Passo 3

Calculando os primeiros termos vemos o padrão:
f(0)=1,\quad f(1)=-1,\quad f(2)=1,\quad f(3)=-1,\dots
Percebe-se que os valores alternam entre 1 e -1. Conjecturamos então
f(n)=(-1)^n.

Passo 4

Prova por indução em n:
Base n=0:
Pela definição, f(0)=1, e (-1)^0=1. Logo vale para n=0.
Passo indutivo:
Suponha que para algum k\ge1 valha f(k-1)=(-1)^{k-1}. Então, usando a regra recursiva,
f(k)=-f(k-1)=-\bigl((-1)^{k-1}\bigr)=(-1)^k.
Assim, a fórmula vale em k e, pelo princípio da indução, vale para todo n\in\mathbb{N}_0.

Resposta

A definição é recursiva válida e
f(n)=(-1)^n.

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