Se sumn=1^infty a0 e sumn=1^infty bn são séries convergentes de soma set, respectivamente, mostre que sumn=1^infty(an pm bn) também converge e sua soma és pm t.

Resolucão:

sumn=1^infty(an pm bn)=lim n infty(sumj=1^n(aj pm bj))=
=lim n infty(sumj=1^n aj pm sumj=1^n bj)=lim n infty sumj=1^n aj pm lim n infty sumj=1^n bj= =s pm t.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries convergentes
sumn=1^inftyan=s
e
sumn=1^inftybn=t,
e pede para mostrar que
sumn=1^inftyl(anpm bnr)
também converge, com soma spm t.
Para isso, vamos usar a definição de série como limite de somas parciais e a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites.

Passo 2

Definimos as somas parciais
sn=sumj=1^naj, tn=sumj=1^nbj, un=sumj=1^nl(ajpm bjr)
Pelo enunciado, sabemos que limntoinftysn=s e limntoinftytn=t.

Passo 3

Observe que, para cada n, podemos agrupar as somas em un:
un =sumj=1^naj;pm;sumj=1^nbj = sn;pm;tn

Passo 4

Como snto s e tnto t, vale a propriedade de limite de soma:
limntoinftyun =limntoinftyl(snpm tnr) =limntoinftysn;pm;limntoinftytn = s;pm;t
Isso mostra que a sequência de somas parciais (un) converge, logo a série sumn=1^inftyl(anpm bnr) converge e sua soma é spm t.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(anpm bnr) converge e
sumn=1^inftyl(anpm bnr) = spm t

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