Se
e
são séries convergentes de soma set, respectivamente, mostre que
também converge e sua soma és
.
Resolucão:
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries convergentes
e
,
e pede para mostrar que
também converge, com soma .
Para isso, vamos usar a definição de série como limite de somas parciais e a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites.
e
e pede para mostrar que
também converge, com soma
Para isso, vamos usar a definição de série como limite de somas parciais e a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites.
Passo 2
Definimos as somas parciais
Pelo enunciado, sabemos que
e
.
Passo 3
Observe que, para cada
, podemos agrupar as somas em
:
Passo 4
Como
e
, vale a propriedade de limite de soma:
Isso mostra que a sequência de somas parciais
converge, logo a série
converge e sua soma é
.
Resposta
A série
converge e