Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=2 cdot 3^2 cdot 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo e do período da representação decimal de tfrac1n quando n=2cdot3^2cdot5. O conteúdo aqui é a teoria de expansão decimal de frações: ao fatorar n em primos, os expoentes de 2 e 5 determinam o anteperíodo, e o período é dado pelo menor t tal que 10^tequiv1pmodn', onde n' é a parte de n que não contém fatores 2 nem 5.

Passo 2

Fatoramos
n = 2^e2cdot5^e5cdot n'
com gcd(n',10)=1. O comprimento do anteperíodo é
s = max(e2,e5),
e o comprimento do período é o menor inteiro positivo t tal que
10^tequiv1pmodn'

Passo 3

No nosso caso,
n = 2^1cdot5^1cdot3^2,
logo e2=1, e5=1 e n'=3^2=9.

Passo 4

Calculamos o anteperíodo:
s = max(e2,e5) = max(1,1) = 1

Passo 5

Para o período, buscamos o menor t>0 com
10^tequiv1pmod9
Como 10equiv1pmod9, já temos 10^1equiv1pmod9. Logo
t = 1

Resposta

O anteperíodo tem comprimento 1 e o período também tem comprimento 1.

Exercícios de Livros Relacionados