Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=105

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo e do período da representação decimal de 1/n para n=105. Esse conteúdo envolve análise de frações decimais de números racionais, que depende da decomposição de n nos fatores 2, 5 e outros, e do cálculo da ordem multiplicativa de 10 módulo da parte coprima a 10.

Passo 2

Fatoramos n=105 em primos:
105 = 3 cdot 5 cdot 7
Na forma 2^a5^b m temos a=0, b=1 e
m = 3 cdot 7 = 21

Passo 3

O anteperíodo de 1/n em base decimal tem comprimento
max(a,b) = max(0,1) = 1

Passo 4

O período é dado pela ordem multiplicativa de 10 em módulo m, i.e.\ o menor k>0 tal que
10^k equiv 1 pmodm

Passo 5

Calculamos potências de 10 em módulo 21:
10^1 equiv 10, 10^2 equiv 100 equiv 16, 10^3 equiv 16cdot10 equiv 160 equiv 13,
10^4 equiv 13cdot10 equiv 130 equiv 4, 10^5 equiv 4cdot10 equiv 40 equiv 19, 10^6 equiv 19cdot10 equiv 190 equiv 1 pmod21
O menor expoente que retorna resto 1 é k = 6.

Passo 6

Logo, a representação decimal de 1/105 tem anteperíodo de comprimento 1 e período de comprimento 6.

Resposta

O anteperíodo tem comprimento 1 e o período tem comprimento 6.

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