Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x), onde:
P(x)=8 x^3-10 x^2+a x+b, Q(x)=2 x^2-3 x+2.

Passo 1

O enunciado dá
P(x)=8x^3-10x^2+ax+b,
Q(x)=2x^2-3x+2
e pede a e b tais que Q(x) seja fator de P(x). Em outras palavras, ao dividir P por Q o resto deve ser o polinômio zero. Vamos usar divisão de polinômios para encontrar esse resto e depois exigir que ele seja identicamente zero.

Passo 2

Começamos a divisão de
8x^3-10x^2+ax+b
por
2x^2-3x+2
O primeiro termo do quociente é
8x^32x^2=4x
Multiplicando 4x por Q(x) e subtraindo de P(x) obtemos o resto intermediário:
4xcdot(2x^2-3x+2)=8x^3-12x^2+8x,
(8x^3-10x^2+ax)-(8x^3-12x^2+8x)=2x^2+(a-8)x,
e ainda trazemos o termo +b. Logo o resto intermediário é
R1(x)=2x^2+(a-8)x+b

Passo 3

Prosseguimos a divisão com R1(x). O próximo termo do quociente é
2x^22x^2=1
Multiplicando e subtraindo:
1cdot(2x^2-3x+2)=2x^2-3x+2,
(2x^2+(a-8)x+b)-(2x^2-3x+2)=(a-8+3)x+(b-2)=(a-5)x+(b-2)
Esse é o resto final R(x)=(a-5)x+(b-2).

Passo 4

Para que Q(x) divida exatamente P(x), precisamos de
R(x)equiv0Longrightarrow a-5=0,;b-2=0
Assim,
a=5, b=2

Resposta

a=5 e b=2.

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