Use continuação analítica para provar que, para todo
complexo,
Passo 1
O enunciado pede para estender ao caso complexo as identidades conhecidas de adição de cosseno e seno, as relações de translação entre seno e cosseno por
, e as fórmulas de adição de seno e cosseno hiperbólicos. O que vamos usar é que as funções
,
,
e
são todas funções inteiras, e que uma função holomorfa que coincide com zero numa “reta” real em cada variável deve ser identicamente zero (unicidade da continuação analítica em variáveis complexas).
Passo 2
Defina
Como
e
são inteiras,
é toda em
. Para
sabe-se que a fórmula de adição vale, logo
Fixando
, a função
é inteira e anula-se para todos
; por unicidade ela é zero em todo
. Agora, para cada
,
como função de
é inteira e anula-se em
, logo também é zero em
. Concluímos
para todo
.
Passo 3
Defina
Como
e
são inteiras,
é inteira. Para
temos a identidade clássica
, ou seja
. Pela unicidade em uma variável complexa segue
. Assim
Analogamente definindo
e repetindo o argumento, obtém-se
Passo 4
Defina
Como
e
são inteiras,
é inteira em
. Para
a fórmula clássica de adição de seno hiperbólico dá
. Pelo mesmo raciocínio de continuação analítica em duas etapas (fixar uma variável real, estender na outra e vice-versa), deduz-se
Passo 5
Defina
Novamente
é inteira e, restringindo a
, é zero pela fórmula real de adição de cosseno hiperbólico. Pelo mesmo teorema de unicidade segue