Use continuação analítica para provar que, para todo z complexo,
cos (z1+z2)=cos z1 cos z2-sen z1 sen z2 sen z=cos (pi2-z) e cos z=sen(pi2-z) senh(z1+z2)=senh z1 cosh z2+cosh z1 senh z2 cosh (z1+z2)=cosh z1 cosh z2+senh z1 senh z2

Passo 1

O enunciado pede para estender ao caso complexo as identidades conhecidas de adição de cosseno e seno, as relações de translação entre seno e cosseno por tfracpi2, e as fórmulas de adição de seno e cosseno hiperbólicos. O que vamos usar é que as funções
cos z, senz, cosh z e senhz são todas funções inteiras, e que uma função holomorfa que coincide com zero numa “reta” real em cada variável deve ser identicamente zero (unicidade da continuação analítica em variáveis complexas).

Passo 2

Defina
F(z1,z2)=cos(z1+z2)-l(cos z1cos z2-senz1,senz2r)
Como cos e sen são inteiras, F é toda em (z1,z2). Para x1,x2in R sabe-se que a fórmula de adição vale, logo
F(x1,x2)=0forall,x1,x2in R
Fixando x2in R, a função z1mapsto F(z1,x2) é inteira e anula-se para todos z1in R; por unicidade ela é zero em todo C. Agora, para cada z1in C, F(z1,z2) como função de z2 é inteira e anula-se em R, logo também é zero em C. Concluímos
cos(z1+z2)=cos z1cos z2-senz1,senz2
para todo z1,z2in C.

Passo 3

Defina
G(z)=senz-cos!l(tfracpi2-zr)
Como sen e cos são inteiras, G é inteira. Para xin R temos a identidade clássica sin x=cos(tfracpi2-x), ou seja G(x)=0. Pela unicidade em uma variável complexa segue G(z)equiv0. Assim
senz=cos!l(tfracpi2-zr)
Analogamente definindo
H(z)=cos z-sen!l(tfracpi2-zr)
e repetindo o argumento, obtém-se
cos z=sen!l(tfracpi2-zr)

Passo 4

Defina
M(z1,z2)=senh(z1+z2)-l(senhz1cosh z2+cosh z1senhz2r)
Como senh e cosh são inteiras, M é inteira em (z1,z2). Para x1,x2in R a fórmula clássica de adição de seno hiperbólico dá M(x1,x2)=0. Pelo mesmo raciocínio de continuação analítica em duas etapas (fixar uma variável real, estender na outra e vice-versa), deduz-se
senh(z1+z2)=senhz1cosh z2+cosh z1senhz2

Passo 5

Defina
N(z1,z2)=cosh(z1+z2)-l(cosh z1cosh z2+senhz1senhz2r)
Novamente N é inteira e, restringindo a R^2, é zero pela fórmula real de adição de cosseno hiperbólico. Pelo mesmo teorema de unicidade segue
cosh(z1+z2)=cosh z1cosh z2+senhz1senhz2

Resposta

cos(z1+z2)=cos z1cos z2-senz1,senz2, senz=cos!l(tfracpi2-zr), cos z=sen!l(tfracpi2-zr), senh(z1+z2)=senhz1cosh z2+cosh z1senhz2, cosh(z1+z2)=cosh z1cosh z2+senhz1senhz2

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