Mostre que uma função analítica numa região
não pode assumir o mesmo valor num conjunto de pontos com ponto de acumulação em
, sob pena de ser constante.
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica numa região
(aberta e conectada) e que existe um conjunto
com ponto de acumulação em
tal que
para todo
, onde
é uma constante complexa. Queremos mostrar que isso força
em toda
. Para isso vamos usar o fato de que uma função analítica que tem infinitos zeros acumulando-se num ponto interior é identicamente zero (Teorema de identidade para funções analíticas).
Passo 2
Defina a função
Então
também é analítica em
e satisfaz
para todo
. Como
tem ponto de acumulação em
, existe
e uma sequência
com
e
.
Passo 3
Expanda
em série de potências ao redor de
:
válida num disco
centrado em
. Queremos mostrar que todos os coeficientes
são zero.
Passo 4
Como
para toda
e
, temos uma sequência de zeros de
acumulando-se em
. Se algum coeficiente
fosse o primeiro não nulo, então perto de
teríamos
com
analítica e
. Nesse caso, zeros de
teriam de ser exatamente
(com multiplicidade
), e não poderia haver infinitos zeros distintos aproximando-se de
. Concluímos que não há tal
; logo todos os
.
Passo 5
Se todos os coeficientes
são zero, então
no disco
. Como
é região conectada e
é analítica, o princípio da continuidade única (ou extensão analítica) implica que
em toda
. Assim
para todo
.
Resposta
A função
é constante em toda a região
, ou seja,
.