Mostre que uma função analítica numa região R não pode assumir o mesmo valor num conjunto de pontos com ponto de acumulação em R, sob pena de ser constante.

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica numa região RsubsetC (aberta e conectada) e que existe um conjunto Ssubset R com ponto de acumulação em R tal que
f(z)=c
para todo zin S, onde c é uma constante complexa. Queremos mostrar que isso força f(z)equiv c em toda R. Para isso vamos usar o fato de que uma função analítica que tem infinitos zeros acumulando-se num ponto interior é identicamente zero (Teorema de identidade para funções analíticas).

Passo 2

Defina a função
g(z)=f(z)-c
Então g também é analítica em R e satisfaz g(z)=0 para todo zin S. Como S tem ponto de acumulação em R, existe z0in R e uma sequência (zn)subset S com znto z0 e znneq z0.

Passo 3

Expanda g em série de potências ao redor de z0:
g(z)=sumk=0^infty ak,(z-z0)^k,
válida num disco Dsubset R centrado em z0. Queremos mostrar que todos os coeficientes ak são zero.

Passo 4

Como g(zn)=0 para toda n e znto z0, temos uma sequência de zeros de g acumulando-se em z0. Se algum coeficiente am fosse o primeiro não nulo, então perto de z0 teríamos
g(z)=(z-z0)^m h(z),
com h analítica e h(z0)=amneq0. Nesse caso, zeros de g teriam de ser exatamente z0 (com multiplicidade m), e não poderia haver infinitos zeros distintos aproximando-se de z0. Concluímos que não há tal m; logo todos os ak=0.

Passo 5

Se todos os coeficientes ak são zero, então g(z)equiv0 no disco D. Como R é região conectada e g é analítica, o princípio da continuidade única (ou extensão analítica) implica que g(z)equiv0 em toda R. Assim
f(z)=c
para todo zin R.

Resposta

A função f é constante em toda a região R, ou seja, f(z)equiv c.

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