As retas que contêm os lados A B e E F de um polígono regular A B C D E F G… formam um ângulo, que contém C e D e é o dobro do ângulo externo do polígono. Quantas diagonais tem esse polígono?

Passo 1

O enunciado fala de um polígono regular com n vértices rotulados em ordem A1=A,;A2=B,;A3=C,;A4=D,;A5=E,;A6=F,dots. O ângulo externo de um polígono regular de n lados vale
varepsilon ;=;360^circn
Precisamos achar n usando a informação sobre o ângulo formado pelas retas que contêm os lados A1A2 (isto é, AB) e A5A6 (isto é, EF), ângulo esse que contém C e D e vale o dobro de varepsilon.

Passo 2

Ao percorrer o contorno do polígono, cada transição de um lado para o próximo corresponde a um giro interno de varepsilon. Para ir da reta que contém AB até a reta que contém EF pelo lado que engloba C e D, temos que dar quatro giros de varepsilon. Como esse conjunto de quatro giros “olha” para dentro do polígono, o ângulo entre as retas é o seu suplemento:
alpha =360^circ ;-;4,varepsilon =360^circ ;-;4cdot360^circn

Passo 3

Pelo enunciado, esse ângulo alpha é o dobro do ângulo externo, ou seja,
360^circ - 4cdot360^circn ;=; 2;cdot;360^circn
Dividindo por 360^circ e multiplicando por n, fica
n - 4 = 2 Longrightarrow n = 6

Passo 4

Um polígono convexo de n lados tem
n(n-3)2
diagonais. Com n=6, obtemos
6,(6-3)2 =6cdot32 =9

Resposta

O polígono tem 9 diagonais.

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