Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\ln \left(e^{-2 x}+e^{-x}\right)

Passo 1

O enunciado dá
y = \ln\bigl(e^{-2x} + e^{-x}\bigr)
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}.
O conteúdo aqui é derivada de logaritmo (regra da cadeia) e derivada de exponenciais. Vamos usar a fórmula
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(u)\bigr] = \frac{u'}{u}.

Passo 2

Definimos
u = e^{-2x} + e^{-x}.
Para achar u', derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}e^{ax} = a\,e^{ax}:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) = -2\,e^{-2x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) = -1\,e^{-x}.
Logo
u' = -2\,e^{-2x} \;-\; e^{-x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para y = \ln(u):
\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{-2\,e^{-2x} - e^{-x}}{e^{-2x} + e^{-x}}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos e^{-2x} no numerador e denominador:
\frac{-2\,e^{-2x} - e^{-x}}{e^{-2x} + e^{-x}} = \frac{-e^{-2x}\bigl(2 + e^{x}\bigr)}{e^{-2x}\bigl(1 + e^{x}\bigr)} = -\frac{2 + e^{x}}{1 + e^{x}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2 + e^{x}}{1 + e^{x}}.

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