Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y e^{x-x 2}=x+y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita y\,e^{x - x^2} = x + y e pede \frac{dy}{dx}. Para isso vamos usar derivação implícita, combinando a regra do produto (para y\cdot e^{x-x^2}) e a regra da cadeia (para e^{x-x^2}).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x - x^2}\bigr) = \frac{dy}{dx}\,e^{x - x^2} + y\,e^{x - x^2}\,\frac{d}{dx}(x - x^2) = \frac{dy}{dx}\,e^{x - x^2} + y\,e^{x - x^2}\,(1 - 2x)
e
\frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
\frac{dy}{dx}\,e^{x - x^2} + y\,e^{x - x^2}(1 - 2x) = 1 + \frac{dy}{dx}.
Passamos os termos com \frac{dy}{dx} para o mesmo lado:
\frac{dy}{dx}\,e^{x - x^2} - \frac{dy}{dx} = 1 - y\,e^{x - x^2}(1 - 2x).
Fatorando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\,\bigl(e^{x - x^2} - 1\bigr) = 1 - y\,e^{x - x^2}(1 - 2x).
Portanto,
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\,e^{x - x^2}(1 - 2x)}{e^{x - x^2} - 1}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y\,e^{x - x^2}(1 - 2x)}{e^{x - x^2} - 1}.

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