Determine a derivada segunda da função dada.
f(x)=\ln (2 x)+x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln(2x)+x^{2}
e pede a segunda derivada f''(x). Para isso, vamos usar as regras de derivação: regra da cadeia para \ln(2x) e regra do poder para x^2.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada f'(x). Para \ln(2x), pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(2x)=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1}{x},
e para x^2 pela regra do poder:
\frac{d}{dx}x^2=2x.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}+2x.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Derivada de \frac{1}{x} é
\frac{d}{dx}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2},
e derivada de 2x é 2. Portanto,
f''(x)=-\frac{1}{x^2}+2.

Resposta

f''(x)=2-\frac{1}{x^2}.

Exercícios de Livros Relacionados