Determine a derivada segunda da função dada.
26. Determine a derivada segunda da função dada.
f(x)=6 x^{5}-4 x^{3}+5 x^{2}-2 x+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=6x^{5}-4x^{3}+5x^{2}-2x+\frac{1}{x}
e pede a segunda derivada f''(x). Vamos usar a regra de derivação termo a termo e a regra do expoente (power rule), lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}
e que \frac{1}{x}=x^{-1}.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada f'(x) aplicando a regra do expoente a cada termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}(6x^{5})&=6\cdot5\,x^{4}=30x^{4},\\\ \frac{d}{dx}(-4x^{3})&=-4\cdot3\,x^{2}=-12x^{2},\\\ \frac{d}{dx}(5x^{2})&=5\cdot2\,x=10x,\\\ \frac{d}{dx}(-2x)&=-2,\\\ \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)&=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}. \end{aligned}
Logo,
f'(x)=30x^{4}-12x^{2}+10x-2 - x^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x):
\begin{aligned} \frac{d}{dx}(30x^{4})&=120x^{3},\\\ \frac{d}{dx}(-12x^{2})&=-24x,\\\ \frac{d}{dx}(10x)&=10,\\\ \frac{d}{dx}(-2)&=0,\\\ \frac{d}{dx}(-x^{-2})&=-(-2)\,x^{-3}=2x^{-3}. \end{aligned}
Portanto,
f''(x)=120x^{3}-24x+10+2x^{-3}.

Resposta

f''(x)=120x^{3}-24x+10+\frac{2}{x^{3}}.

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