Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
22. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x.
y=5 u^{2}+u-1 ; u=3 x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada \frac{dy}{dx} de uma função composta, onde temos
y = 5u^{2} + u - 1
e
u = 3x + 1.
O conteúdo é a regra da cadeia, que diz que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calculamos primeiro \frac{dy}{du}. Como y = 5u^{2} + u - 1, temos
\frac{dy}{du} = 10u + 1.

Passo 3

Agora, calculamos \frac{du}{dx}. Como u = 3x + 1, fica simples:
\frac{du}{dx} = 3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = (10u + 1)\cdot 3 = 30u + 3.

Passo 5

Por fim, substituímos u = 3x + 1 para expressar tudo em termos de x:
\frac{dy}{dx} = 30(3x + 1) + 3 = 90x + 30 + 3 = 90x + 33.

Resposta

\frac{dy}{dx} = 90x + 33.

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