Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
25. Use a regra da cadeia para determinar d y / d x para o valor dado de x.
y=u^{3}-4 u^{2}+5 u+2 ; u=x^{2}+1 ; \operatorname{para} x=1

Passo 1

O enunciado define uma função composta em que
y = u^{3} - 4u^{2} + 5u + 2
com
u = x^{2} + 1
e pede \dfrac{dy}{dx} no ponto x=1. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, que nos diz que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calculamos primeiro \dfrac{dy}{du}. Como
y(u) = u^{3} - 4u^{2} + 5u + 2,
temos
\frac{dy}{du} = 3u^{2} - 8u + 5.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{du}{dx}. Como
u(x) = x^{2} + 1,
segue
\frac{du}{dx} = 2x.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \bigl(3u^{2} - 8u + 5\bigr)\,\bigl(2x\bigr).

Passo 5

Para x=1, temos u = 1^{2} + 1 = 2. Substituindo,
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=1} = \bigl(3\cdot 2^{2} - 8\cdot 2 + 5\bigr)\,(2\cdot 1) = \bigl(3\cdot 4 - 16 + 5\bigr)\cdot 2 = (12 - 16 + 5)\cdot 2 = 1\cdot 2 = 2.

Resposta

\frac{dy}{dx}\Big|_{x=1} = 2.

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