Determine a diagonal de um pentágono regular de lado ell.

Passo 1

O enunciado pede o valor da diagonal de um pentágono regular de lado ell. Num pentágono regular todos os lados medem ell e todos os ângulos internos valem tfrac(5-2)cdot180^circ5=108^circ. Para achar a diagonal vamos usar a lei dos cossenos num triângulo formado por dois lados adjacentes e a diagonal.

Passo 2

Seja d o comprimento da diagonal. No triângulo que tem dois lados de comprimento ell e ângulo entre eles de 108^circ, a lei dos cossenos dá
d^2 = ell^2 + ell^2 - 2,ellcdotellcos108^circ = 2ell^2l(1 - cos108^circr)

Passo 3

Sabendo que
cos72^circ = raiz5-14
temos
cos108^circ = cos(180^circ - 72^circ) = -cos72^circ = 1-raiz54
Logo
1-cos108^circ = 1 - 1-raiz54 = 4 -1 +raiz54 = 3+raiz54

Passo 4

Substituindo em d^2:
d^2 = 2ell^2cdot3+raiz54 = ell^2cdot3+raiz52
Assim
d = ell,raiz3+raiz52

Passo 5

Reconhecendo que
varphi = 1+raiz52 e varphi^2 = 3+raiz52,
temos
d = ell,varphi = ell,1+raiz52

Resposta

A diagonal do pentágono regular de lado ell é
d = ell,1+raiz52

Exercícios de Livros Relacionados