Determine as dimensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas dimensões igual a 45 cm , a diagonal da base igual a 25 cm e a área total igual a 1300 cm^2.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões a,b,c>0 de um ortoedro e seu volume, sabendo que:
1. A soma das arestas a+b+c=45 cm.
2. A diagonal da base satisfaz raiza^2+b^2=25 cm, ou seja,
a^2+b^2=625
3. A área total é 1300,cm ^2, isto é,
2l(ab+ac+bcr)=1300Longrightarrow ab+ac+bc=650
O conteúdo necessário é resolver sistemas com simetria em a,b,c usando polinômios auxiliares.

Passo 2

Defina
x = a+b, y = ab, c = 45 - x
Das condições temos
a^2 + b^2 = 625 Longrightarrow x^2 = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab = 625 + 2y,
e
ab + ac + bc = 650 Longrightarrow y + c,(a+b) = 650 Longrightarrow y + (45-x),x = 650

Passo 3

Da relação x^2 = 625 + 2y segue
y = x^2 - 6252
Substituindo em y + 45x - x^2 = 650 obtemos
x^2 - 6252 ;+; 45x ;-; x^2 = 650 Longrightarrow x^2 - 90x + 1925 = 0
Resolvendo a quadrática,
x = 90pmraiz90^2 -4cdot19252 = 90pm202
x=55 ou x=35. Como c=45-x>0, tomamos x=35 e assim
c = 45 - 35 = 10 cm

Passo 4

Com x=35 temos
y = ab = 35^2 - 6252 = 1225 - 6252 = 300
Logo a e b são raízes de
t^2 - (a+b),t + ab = t^2 - 35t + 300 = 0,
cuja solução é
t = 35pmraiz35^2 -4cdot3002 = 35pm52,
resultando em a=20 cm e b=15 cm (ou vice-versa).

Passo 5

O volume do ortoedro é
V = a,b,c = 20 times 15 times 10 = 3000 cm^3

Resposta

As dimensões são 20 cm, 15 cm e 10 cm, e o volume é 3000 cm ^3.

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