Num triângulo ABC , retângulo em A , a altura relativa à hipotenusa mede 1,2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo m e n, respectivamente, as projeções do maior e do menor cateto sobre a hipotenusa, calcule mn.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC retângulo em A. A altura relativa à hipotenusa BC mede 1,2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Queremos a razão mn, onde m e n são as projeções do maior e do menor cateto sobre BC.

Passo 2

Pela geometria do triângulo retângulo, a altura h à hipotenusa c divide-a em dois segmentos cujas medidas m e n satisfazem
m+n=c,
m,n=h^2
Aqui c=2,5 e h=1,2, logo
m+n=2,5, m,n=1,44

Passo 3

Defina r=mn. Então m=r,n e
m+n=r,n+n=(r+1)n=2,5 Longrightarrow n=2,5r+1
Substituindo em m,n=1,44
r,n^2=1,44 Longrightarrow rl(2,5r+1r)^2=1,44

Passo 4

Desenvolvendo
6,25,r(r+1)^2=1,44 Longrightarrow 6,25,r=1,44,(r+1)^2 =1,44(r^2+2r+1),
1,44r^2+(2,88-6,25)r+1,44=0 Longrightarrow 1,44r^2-3,37r+1,44=0
O discriminante é
De<a =(-3,37)^2-4cdot1,44cdot1,44=3,0625, raizDe<a=1,75,
r=3,37pm1,752cdot1,44 =3,37pm1,752,88 ;Rightarrow; rapprox1,777ou0,5625
Como precisamos do maior cateto, escolhemos r>1.

Resposta

mn=169

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