Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto especificado pelo valor de x.
f(x)=\left(x^{2}-3\right)^{5}(2 x-1)^{3} ; x=2

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de
f(x) = (x^2 - 3)^5\,(2x - 1)^3
no ponto em que x=2. Para escrever essa reta precisamos de dois itens: o valor f(2) (o ponto em si) e a derivada f'(2) (a inclinação). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para obter f'(x).

Passo 2

Calcular o valor da função em x=2:
x^2 - 3 \bigl|_{x=2} = 2^2 - 3 = 1,\quad 2x - 1 \bigl|_{x=2} = 4 - 1 = 3.
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f(2) = 1^5 \cdot 3^3 = 27.

Passo 3

Derivar f(x) = u(x)\,v(x) com
u(x) = (x^2 - 3)^5,\quad v(x) = (2x - 1)^3.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aplicando a cadeia em cada um:
u'(x) = 5\,(x^2 - 3)^4 \cdot 2x = 10x\,(x^2 - 3)^4,
v'(x) = 3\,(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6\,(2x - 1)^2.
Portanto
f'(x) = 10x\,(x^2 - 3)^4\,(2x - 1)^3 \;+\; 6\,(x^2 - 3)^5\,(2x - 1)^2.

Passo 4

Avaliar f'(x) em x=2. Como no passo 2 já vimos que (x^2-3)\big|_{2}=1 e (2x-1)\big|_{2}=3, temos
f'(2) =10\cdot2\cdot1^4\cdot3^3 \;+\; 6\cdot1^5\cdot3^2 = 10\cdot2\cdot27 \;+\; 6\cdot9 = 540 \;+\; 54 = 594.

Passo 5

A equação da reta tangente em x=2 é
y - f(2) = f'(2)\,(x - 2).
Substituindo f(2)=27 e f'(2)=594,
y - 27 = 594\,(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = 594x - 1188 + 27 \quad\Longrightarrow\quad y = 594x - 1161.

Resposta

A reta tangente é
\boxed{y = 594x - 1161.}

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