Use a regra da cadeia para calcular a derivada dy/dx para a função dada e o valor especificado de x.
y=3 u^{2}-6 u+2 ; u=\frac{1}{x^{2}} para x=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá
y = 3u^{2} - 6u + 2
com
u = \frac{1}{x^{2}} \,,
e pede \dfrac{dy}{dx} em x=\tfrac13. Vamos usar a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{du}{dx}. Como
u = x^{-2},
temos
\frac{du}{dx} = -2\,x^{-3}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{dy}{du}. Como
y = 3u^{2} - 6u + 2,
segue
\frac{dy}{du} = 6u - 6.

Passo 4

Avaliar em x=\tfrac13. Primeiro
u\bigl(\tfrac13\bigr) = \frac{1}{(\tfrac13)^{2}} = 9.
Então
\frac{du}{dx}\Bigl|_{x=\tfrac13} = -2 \bigl(\tfrac13\bigr)^{-3} = -2 \cdot 27 = -54,
\frac{dy}{du}\Bigl|_{u=9} = 6\cdot 9 - 6 = 54 - 6 = 48.
Portanto, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}\Bigl|_{x=\tfrac13} = \frac{dy}{du}\Bigl|_{u=9}\;\frac{du}{dx}\Bigl|_{x=\tfrac13} = 48 \times (-54) = -2592.

Resposta

\frac{dy}{dx}\Bigl|_{x=\tfrac13} = -2592.

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