Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva da função dada no ponto especificado pelo valor de x.
f(x)=\frac{1}{(2 x-1)^{6}} ; x=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva da função
f(x)=\frac{1}{(2x-1)^{6}}
no ponto em que x=1. Para isso precisamos de dois ingredientes: o ponto de tangência (x_0,f(x_0)) e a inclinação da reta, dada pela derivada f'(x) avaliada em x_0. Em seguida usamos a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência. Substituindo x=1 em f(x):
2\cdot1-1=1 \quad\Longrightarrow\quad f(1)=\frac{1}{1^{6}}=1.
Logo o ponto é (1,1).

Passo 3

Determinar a derivada f'(x). Escrevendo
f(x)=(2x-1)^{-6},
aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=-6\,(2x-1)^{-7}\cdot\frac{d}{dx}(2x-1) =-6\,(2x-1)^{-7}\cdot2 =-12\,(2x-1)^{-7}.
Agora avaliamos em x=1:
2\cdot1-1=1 \quad\Longrightarrow\quad f'(1)=-12\cdot1^{-7}=-12.

Passo 4

Escrever a equação da reta usando a forma ponto-inclinação:
y - f(1) = f'(1)\,(x - 1).
Substituindo f(1)=1 e f'(1)=-12:
y - 1 = -12\,(x - 1).
Desenvolvendo:
y - 1 = -12x +12 \quad\Longrightarrow\quad y = -12x +13.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -12x + 13.

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