Determine:
b) o gaussiano do número 7 de módulo 11 .

Passo 1

O enunciado pede o “gaussiano” de 7 módulo 11. Em teoria dos números, esse gaussiano é definido pelo somatório
G(a,p);=;sumn=0^p-1e^2pi i,a,n^2/p,
onde p é primo. Para resolver, vamos usar duas propriedades principais:
  1. A relação
G(a,p);=;gl(apgr),G(1,p),
onde l(tfracapr) é o símbolo de Legendre.
2. O valor fechado de G(1,p) para primo ímpar p:
G(1,p)= raizp, &se pequiv1pmod4, i,raizp, &se pequiv3pmod4

Passo 2

Primeiro identificamos p=11. Como 11equiv3pmod4, vale
G(1,11)=i,raiz11

Passo 3

Agora precisamos do símbolo de Legendre l(tfrac711r). Pela reciprocidade quadrática,
gl(711gr),gl(117gr) =(-1)^7-12,11-12 =(-1)^3cdot5 =(-1)^15 =-1
Mas 11equiv4pmod7, então
gl(117gr) =gl(47gr) =gl(2^27gr) =1
Logo
gl(711gr)=-1

Passo 4

Aplicando a fórmula G(a,11)=l(tfraca11r),G(1,11) para a=7, temos
G(7,11) =gl(711gr),G(1,11) =-1cdotl(i,raiz11r) =-,i,raiz11

Resposta

-,iraiz11

Exercícios de Livros Relacionados