Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
g(t)=\frac{\ln (t+1)}{t+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
g(t) = \frac{\ln(t+1)}{t+1}
nos aspectos de crescimento, decrescimento, concavidade, máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interceptos e elementos importantes no gráfico. Para isso, vamos precisar do domínio, das derivadas primeira e segunda, examinar seus zeros e sinais, e em seguida listar todos os pontos e assíntotas.

Passo 2

Domínio e comportamentos nas fronteiras:
O argumento de \ln(t+1) exige t+1>0, logo o domínio é
(-1,\infty).
Quando t\to -1^+, t+1\to 0^+ e \ln(t+1)\to -\infty, então g(t)\to -\infty: há assíntota vertical em t=-1.
Quando t\to +\infty, \ln(t+1)/(t+1)\to 0, logo existe assíntota horizontal y=0.
Intercepto com o eixo x: \ln(t+1)=0 t+1=1, isto é t=0. Então cruza o eixo x e y em (0,0).

Passo 3

Derivada primeira e monotonia:
Usando regra do quociente,
g'(t) = \frac{\frac1{t+1}\,(t+1) - \ln(t+1)\,1}{(t+1)^2} = \frac{1-\ln(t+1)}{(t+1)^2}.
O denominador é sempre positivo em (-1,\infty). O numerador zera quando
1-\ln(t+1)=0\quad\Longrightarrow\quad t+1=e\quad\Longrightarrow\quad t=e-1.
Para t<e-1, \ln(t+1)<1 faz g'>0; para t>e-1, \ln(t+1)>1 faz g'<0.
Logo g é crescente em (-1,e-1) e decrescente em (e-1,\infty). Em t=e-1 ocorre máximo local cujo valor é
g(e-1)=\frac{\ln(e)}{e}=\frac1e.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade:
Partindo de g'(t)=(1-\ln(t+1))/(t+1)^2 e aplicando derivação, obtém-se
g''(t) = \frac{2\ln(t+1)-3}{(t+1)^3}.
Como (t+1)^3>0, o sinal de g'' é o mesmo de 2\ln(t+1)-3. A equação
2\ln(t+1)-3=0
\ln(t+1)=3/2, ou seja t=e^{3/2}-1. Para t<e^{3/2}-1 temos 2\ln(t+1)<3 e g''<0: concavidade para baixo. Para t>e^{3/2}-1, g''>0: concavidade para cima. Em t=e^{3/2}-1 há ponto de inflexão com
g\bigl(e^{3/2}-1\bigr) = \frac{\ln\bigl(e^{3/2}\bigr)}{e^{3/2}} = \frac{3/2}{e^{3/2}}.

Passo 5

Resumo dos resultados e pontos importantes:
\bullet Domínio: (-1,\infty).
\bullet Assíntota vertical: t=-1.
\bullet Assíntota horizontal: y=0.
\bullet Intercepto com eixos: (0,0).
\bullet Crescimento: em (-1,e-1).
\bullet Decr. em (e-1,\infty).
\bullet Máximo local em t=e-1, valor g(e-1)=1/e.
\bullet Concavidade para baixo em (-1,e^{3/2}-1).
\bullet Concavidade para cima em (e^{3/2}-1,\infty).
\bullet Ponto de inflexão em \bigl(e^{3/2}-1,\,(3/2)e^{-3/2}\bigr).
\bullet Não há cúspides nem tangentes verticais internas (derivadas são finitas no domínio).

Resposta

Crescente em (-1,e-1), decrescente em (e-1,\infty).
Concavidade para baixo em (-1,e^{3/2}-1), para cima em (e^{3/2}-1,\infty).
Assíntotas: vertical t=-1, horizontal y=0.
Intercepto em (0,0).
Máximo local em \bigl(e-1,1/e\bigr).
Ponto de inflexão em \bigl(e^{3/2}-1,\,(3/2)e^{-3/2}\bigr).

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