Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
nos aspectos de crescimento, decrescimento, concavidade, máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas, interceptos e elementos importantes no gráfico. Para isso, vamos precisar do domínio, das derivadas primeira e segunda, examinar seus zeros e sinais, e em seguida listar todos os pontos e assíntotas.
Passo 2
Domínio e comportamentos nas fronteiras:
O argumento de exige
, logo o domínio é
O argumento de
Quando
,
e
, então
: há assíntota vertical em
.
Quando ,
, logo existe assíntota horizontal
.
Intercepto com o eixo :
dá
, isto é
. Então cruza o eixo
e
em
.
Quando
Intercepto com o eixo
Passo 3
Derivada primeira e monotonia:
Usando regra do quociente,
Usando regra do quociente,
O denominador é sempre positivo em
. O numerador zera quando
Para
,
faz
; para
,
faz
.
Logo é crescente em
e decrescente em
. Em
ocorre máximo local cujo valor é
Logo
Passo 4
Derivada segunda e concavidade:
Partindo de e aplicando derivação, obtém-se
Partindo de
Como
, o sinal de
é o mesmo de
. A equação
dá
, ou seja
. Para
temos
e
: concavidade para baixo. Para
,
: concavidade para cima. Em
há ponto de inflexão com
Passo 5
Resumo dos resultados e pontos importantes:
Domínio:
.
Assíntota vertical:
.
Assíntota horizontal:
.
Intercepto com eixos:
.
Crescimento: em
.
Decr. em
.
Máximo local em
, valor
.
Concavidade para baixo em
.
Concavidade para cima em
.
Ponto de inflexão em
.
Não há cúspides nem tangentes verticais internas (derivadas são finitas no domínio).
Resposta
Crescente em
, decrescente em
.
Concavidade para baixo em , para cima em
.
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Intercepto em .
Máximo local em .
Ponto de inflexão em .
Concavidade para baixo em
Assíntotas: vertical
Intercepto em
Máximo local em
Ponto de inflexão em