Determine o maior e o menor valor da função dada no intervalo especificado.
g(t)=\frac{\ln (\sqrt{t})}{t^{2}} \quad para 1 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(t)=\frac{\ln(\sqrt{t})}{t^{2}}
no intervalo [1,2]. Para encontrar o maior e o menor valor de g em [1,2], vamos usar derivadas para achar pontos críticos e também avaliar as fronteiras t=1 e t=2.

Passo 2

Começamos simplificando a expressão de g(t):
\ln(\sqrt{t})=\tfrac12\ln t
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g(t)=\frac{\ln(\sqrt{t})}{t^{2}}=\frac{\tfrac12\ln t}{t^{2}}=\frac{\ln t}{2\,t^{2}}.
Agora calculamos a derivada:
g'(t)=\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{\ln t}{2\,t^{2}}\Bigr) =\frac{1-2\ln t}{2\,t^{3}}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos g'(t)=0:
\frac{1-2\ln t}{2\,t^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-2\ln t=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln t=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad t=\mathrm e^{1/2}=\sqrt e.
Esse valor t=\sqrt e\approx1,6487 está dentro de [1,2].

Passo 4

Agora avaliamos g nos candidatos t=1, t=\sqrt e e t=2:
g(1)=\frac{\ln(1)}{2\cdot1^{2}}=0,
g(\sqrt e)=\frac{\ln(\sqrt e)}{2(\sqrt e)^{2}} =\frac{\tfrac12}{2e}=\frac{1}{4e},
g(2)=\frac{\ln(2)}{2\cdot 2^{2}} =\frac{\ln2}{8}.

Passo 5

Comparamos os valores numéricos:
g(1)=0,\quad g(2)=\frac{\ln2}{8}\approx0,0866,\quad g(\sqrt e)=\frac{1}{4e}\approx0,0919.
O menor valor é 0 em t=1 e o maior é \tfrac{1}{4e} em t=\sqrt e.

Resposta

Menor valor: g(1)=0.
Maior valor: g(\sqrt e)=\dfrac{1}{4e}.

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