a) Seja a um número racional tal que (0<a<1\\\ ). Mostre que existe (r \\in \\mathbb{N}^{*}\\n) para o qual
b) Ache e
.)
b) Ache e
Passo 1
O enunciado é o seguinte:
a) Dado um número racional
com
, mostre que existe um inteiro positivo
tal que
b) Para os casos
e
, determine o valor de
que satisfaz essa desigualdade.
Passo 2
Vamos usar a propriedade arquimediana aplicada à sequência
. Como
e
, existe um inteiro
tal que
Note que
pois
. Definimos então
Assim
é um inteiro positivo (
).
Passo 3
Pela construção de
como o menor inteiro que torna
, sabemos também que para
vale
Agora observe:
Logo chegamos exatamente à desigualdade pedida:
Passo 4
Aplicamos o critério acima aos valores dados:
-
Para
: Calculamosentão. Tomando , testamos -
Para
: Temoslogo. Assim e
Resposta
a) Pelo argumento arquimediano acima, existe sempre
tal que
b) Para
,
.
Para ,
.
Para