a) Seja a um número racional tal que (0<a<1\\\ ). Mostre que existe (r \\in \\mathbb{N}^{*}\\n) para o qual

b) Ache e .)

Passo 1

O enunciado é o seguinte:
a) Dado um número racional a com 0 < a < 1, mostre que existe um inteiro positivo rinN^* tal que
1r+1 <= a < 1r
b) Para os casos a=722 e a=4760, determine o valor de r que satisfaz essa desigualdade.

Passo 2

Vamos usar a propriedade arquimediana aplicada à sequência l(tfrac1nr)ninN^*. Como
limntoinfty1n = 0
e a>0, existe um inteiro N tal que
1N < a
Note que N>=2 pois a<1. Definimos então
r = N - 1
Assim r é um inteiro positivo ( r>=1).

Passo 3

Pela construção de N como o menor inteiro que torna tfrac1N<a, sabemos também que para N-1 vale
1N-1;>=;a
Agora observe:
1r+1 ;=;1N < a e a ;<=;1N-1 = 1r
Logo chegamos exatamente à desigualdade pedida:
1r+1 <= a < 1r

Passo 4

Aplicamos o critério acima aos valores dados:
  1. Para a=tfrac722:
    Calculamos
    1a = 227approx3,1428,
    então lfloor1/arfloor=3. Tomando r=3, testamos
    14=0,25 <= 722approx0,318 < 13approx0,333
  2. Para a=tfrac4760:
    Temos
    1a = 6047approx1,2766,
    logo lfloor1/arfloor=1. Assim r=1 e
    12=0,5 <= 4760approx0,7833 < 11=1

Resposta

a) Pelo argumento arquimediano acima, existe sempre rinN^* tal que
1r+1<= a<1r
b) Para a=tfrac722, r=3.
Para a=tfrac4760, r=1.

Exercícios de Livros Relacionados