Determine a medida da aresta de um tetraedro regular, sabendo que, aumentada em 4 m , sua área aumenta em 40 raiz3 m^2.

Passo 1

O enunciado descreve um tetraedro regular de aresta a. Ao aumentar essa aresta em 4 m, sua área de superfície cresce em 40raiz3,m^2. Para resolver, precisamos usar a fórmula da área de superfície de um tetraedro regular, que é quatro vezes a área de um triângulo equilátero.

Passo 2

A área de superfície original em função de a é
S(a)=raiz3,a^2
Após aumentar a aresta para a+4, a nova área é
S(a+4)=raiz3,(a+4)^2

Passo 3

O aumento de área De<a S vale
De<a S = S(a+4)-S(a) =raiz3l((a+4)^2 - a^2r) =raiz3(8a+16) =8raiz3,(a+2)

Passo 4

Como o enunciado diz que esse aumento é 40raiz3, igualamos
8raiz3,(a+2)=40raiz3
Cancelando raiz3 e dividindo por 8, obtemos
a+2=5 Longrightarrow a=3

Resposta

A aresta do tetraedro mede 3 m.

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