Determine a medida do raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume de um setor de uma esfera de 1 m de raio e tendo por base uma zona de 80 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado pede o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume de um setor esférico retirado de uma esfera de raio 1 m, sabendo que a “base” desse setor é uma zona esférica de área 80pi,cm^{2}). O conteúdo aqui é geometria de esferas, em especial a fórmula do volume de um setor esférico em função da área da zona esférica que o delimita, além de conversão de unidades.

Passo 2

Convém trabalhar tudo em cm. Como 1 m =!100 cm, temos
R = 100 cm,
e a área da zona esférica é
A = 80pi cm^2

Passo 3

A fórmula do volume Vsetor de um setor esférico de raio R cuja base é uma zona de área A é
Vsetor = R3,A
Substituindo R=100 cm e A=80pi,cm^{2}) obtemos
Vsetor = 1003,times 80pi = 8000pi3 cm^3

Passo 4

Queremos uma esfera de raio r cujo volume
Vesfera = 43pi r^3
seja igual a Vsetor. Então
43pi r^3 = 8000pi3
Cancelamos pi e multiplicamos ambos os lados por 3:
4,r^3 = 8000

Passo 5

Isolando r^3 e tirando a raiz cúbica,
r^3 = 2000 Longrightarrow r = raiz[3]2000 = 10,raiz[3]2 cmapprox12,6 cm

Resposta

O raio da esfera procurada é
r = 10,raiz[3]2 cmapprox12,6 cm

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