Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 15 cm a medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 cm do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um segmento esférico delimitado por duas bases planas paralelas que cortam uma esfera de raio R=15:cm. Cada plano está à distância 6:cm do centro, logo cortamos a esfera nos níveis z=-6 e z=+6. Para resolver usamos o método de discos, integrando a área de cada seção transversal.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o centro da esfera em (0,0,0) e o eixo z ortogonal aos planos. A seção num plano z constante é um círculo de raio raizR^2 - z^2, portanto sua área é
A(z)=pil(R^2 - z^2r)
O volume do segmento é
V=integralz=-6^z=+6A(z),dz =piintegral-6^6l(R^2 - z^2r),dz

Passo 3

Calculamos a antiderivada:
integrall(R^2 - z^2r),dz =R^2 z - z^33

Passo 4

Substituindo os limites z=-6 e z=+6:
V =pil[l(R^2cdot 6 - tfrac6^33r) -l(R^2cdot(-6) - tfrac(-6)^33r)r] =pil[6R^2 - 72 + 6R^2 - 72r] =pil[12R^2 - 144r]

Passo 5

Como R=15, temos R^2=225, logo
12R^2 - 144 = 12cdot225 - 144 =2700 - 144 =2556
Portanto
V=2556pi:cm^3approx8033,3:cm^3

Resposta

V = 2556pi:cm^3approx8033,3:cm^3

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