Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 15 cm a medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 cm do centro da esfera.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um segmento esférico delimitado por duas bases planas paralelas que cortam uma esfera de raio
. Cada plano está à distância
do centro, logo cortamos a esfera nos níveis
e
. Para resolver usamos o método de discos, integrando a área de cada seção transversal.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com o centro da esfera em
e o eixo
ortogonal aos planos. A seção num plano
constante é um círculo de raio
, portanto sua área é
O volume do segmento é
Passo 3
Calculamos a antiderivada:
Passo 4
Substituindo os limites
e
:
Passo 5
Como
, temos
, logo
Portanto