Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sabendo que está situado em uma semiesfera de 20 cm de raio e que as suas bases distam 3 cm e 6 cm , respectivamente, do centro da semiesfera.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um segmento esférico de duas bases contido numa semiesfera de raio 20 cm, cujas duas bases estão em planos paralelos ao diâmetro e distam 3 cm e 6 cm do centro da esfera.
Conteúdo: vamos usar o método de integração por seções transversais (princípio de Cavalieri).

Passo 2

Escolhemos um eixo z passando pelo centro da esfera. A uma altura z do centro, a seção transversal é um círculo de raio raizR^2 - z^2, logo sua área é
A(z) = pil(R^2 - z^2r)
O volume do segmento entre z=z1 e z=z2 é
V = integralz1^z2 A(z),dz = piintegralz1^z2 l(R^2 - z^2r),dz

Passo 3

Aplicando R=20, z1=3 e z2=6:
V = pi!l[R^2,z - tfracz^33r]3^6 = pil(400cdot6 - tfrac6^33 - l(400cdot3 - tfrac3^33r)r)

Passo 4

Calculemos passo a passo:
400cdot6 - 400cdot3 = 400,(6-3)=1200, tfrac6^33-tfrac3^33=tfrac216-273=63
Logo
V = pi,(1200 - 63) = 1137pi

Resposta

1137pi cm^3

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