De um polígono regular
. sabemos que o ângulo
mede
. Quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro?
Passo 1
O enunciado fala de um polígono regular
em que
, e pede quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro. Vamos precisar de dois ingredientes:
- Teorema do ângulo inscrito na circunferência para achar o número de lados
. - Fórmula do número total de diagonais de um polígono de
lados e o fato de que, se é par, exatamente dessas diagonais passam pelo centro.
Passo 2
Como o polígono é regular, todos os seus vértices estão inscritos numa circunferência, e o arco
mede
(são vértices consecutivos). Pelo teorema do ângulo inscrito,
Dado que
, temos
Passo 3
Agora, o número total de diagonais de um polígono de
lados é
Para
, isso dá
Passo 4
Como
é par, existem exatamente
diagonais que passam pelo centro (são os pares de vértices opostos). Logo, o número de diagonais que passam pelo centro é
Passo 5
O número de diagonais que não passam pelo centro é a diferença entre o total e as que passam pelo centro: