De um polígono regular ABCDE . sabemos que o ângulo A widehatC B mede 10^circ. Quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro?

Passo 1

O enunciado fala de um polígono regular ABCDEldots em que ang<= AwidehatCB=10^circ, e pede quantas diagonais desse polígono não passam pelo centro. Vamos precisar de dois ingredientes:
  1. Teorema do ângulo inscrito na circunferência para achar o número de lados n.
  2. Fórmula do número total de diagonais de um polígono de n lados e o fato de que, se n é par, exatamente n/2 dessas diagonais passam pelo centro.

Passo 2

Como o polígono é regular, todos os seus vértices estão inscritos numa circunferência, e o arco AB mede tfrac360^circn (são vértices consecutivos). Pelo teorema do ângulo inscrito,
ang<= AwidehatCB ;=;tfrac12l(medida do arco ABr) ;=;12cdot360^circn ;=;180^circn
Dado que ang<= AwidehatCB=10^circ, temos
180^circn=10^circ Longrightarrow n=18

Passo 3

Agora, o número total de diagonais de um polígono de n lados é
n(n-3)2
Para n=18, isso dá
18,(18-3)2=18cdot152=135

Passo 4

Como n=18 é par, existem exatamente n/2 diagonais que passam pelo centro (são os pares de vértices opostos). Logo, o número de diagonais que passam pelo centro é
182=9

Passo 5

O número de diagonais que não passam pelo centro é a diferença entre o total e as que passam pelo centro:
135-9=126

Resposta

126 diagonais não passam pelo centro.

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