O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
x - ycos C - zcos B = 0, y - zcos A - xcos C = 0, z - xcos B - ycos A = 0,
onde A+B+C=pi. Vamos usar álgebra linear para sistemas homogêneos e identidades trigonométricas do tipo sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.
Passo 2
Como é um sistema homogêneo em (x,y,z), ele admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para encontrar uma solução não trivial, buscamos um vetor (x,y,z)neq(0,0,0) que satisfaça as três equações simultaneamente.
Passo 3
Supomos que
(x,y,z)=tl(sin A,;sin B,;sin Cr)
para algum parâmetro t. Verificamos a primeira equação:
sin A - sin Bcos C - sin Ccos B = sin A - l(sin Bcos C + cos Bsin Cr) = sin A - sin(B+C) = sin A - sin(pi - A) = 0
Pelas simetrias do sistema, as outras duas equações também se anulam.
Passo 4
Concluímos que o espaço de soluções tem dimensão 1, dado por todos os múltiplos escalares de (sin A,sin B,sin C). A única outra solução é a trivial.
Resposta
(x,y,z)=tl(sin A,sin B,sin Cr), com tinR.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 445