Resolva o sistema:
l x-y cdot cos C-z cdot cos B=0 y-z cdot cos A-x cdot cos C=0 z-x cdot cos B-y cdot cos A=0
sendo, A, B e C ângulos internos de um triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
x - ycos C - zcos B = 0, y - zcos A - xcos C = 0, z - xcos B - ycos A = 0,
onde A+B+C=pi. Vamos usar álgebra linear para sistemas homogêneos e identidades trigonométricas do tipo
sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.

Passo 2

Como é um sistema homogêneo em (x,y,z), ele admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para encontrar uma solução não trivial, buscamos um vetor (x,y,z)neq(0,0,0) que satisfaça as três equações simultaneamente.

Passo 3

Supomos que
(x,y,z)=tl(sin A,;sin B,;sin Cr)
para algum parâmetro t. Verificamos a primeira equação:
sin A - sin Bcos C - sin Ccos B = sin A - l(sin Bcos C + cos Bsin Cr) = sin A - sin(B+C) = sin A - sin(pi - A) = 0
Pelas simetrias do sistema, as outras duas equações também se anulam.

Passo 4

Concluímos que o espaço de soluções tem dimensão 1, dado por todos os múltiplos escalares de
(sin A,sin B,sin C). A única outra solução é a trivial.

Resposta

(x,y,z)=tl(sin A,sin B,sin Cr), com tinR.

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