A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Legendre:
Legendre:
Passo 1
O enunciado nos dá a representação integral
e pede para achar a função geradora
O conteúdo necessário é o uso da fórmula de Cauchy para coeficientes de séries de potências.
Passo 2
Lembremos da fórmula de coeficiente de Taylor/Cauchy: se
então
Comparando com a representação dada para
, vemos que a parte dentro da integral deve ser exatamente
. Logo,
Passo 3
Portanto a expansão em série de potências de
em torno de
fornece