A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Legendre:
Pn(x)=12 pi i oint(1-2 t x+t^2)^-1 / 2 t^-n-1 d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral
Pn(x)=12pi iointl(1-2tx+t^2r)^-1/2,t^-n-1,dt
e pede para achar a função geradora
g(t,x)=sumn=0^inftyPn(x),t^n
O conteúdo necessário é o uso da fórmula de Cauchy para coeficientes de séries de potências.

Passo 2

Lembremos da fórmula de coeficiente de Taylor/Cauchy: se
g(t,x)=sumn=0^inftyfn(x),t^n,
então
fn(x)=12pi ioint g(t,x),t^-n-1,dt
Comparando com a representação dada para Pn(x), vemos que a parte dentro da integral deve ser exatamente g(t,x). Logo,
g(t,x)=l(1-2tx+t^2r)^-1/2

Passo 3

Portanto a expansão em série de potências de g(t,x) em torno de t=0 fornece
sumn=0^inftyPn(x),t^n=l(1-2tx+t^2r)^-1/2

Resposta

boxedsumn=0^inftyPn(x),t^n ;=;(1-2xt+t^2)^-tfrac12

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