A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Legendre:
P_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi i} \oint\left(1-2 t x+t^{2}\right)^{-1 / 2} t^{-n-1} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral
P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\bigl(1-2tx+t^{2}\bigr)^{-1/2}\,t^{-n-1}\,dt
e pede para achar a função geradora
g(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,t^{n}.
O conteúdo necessário é o uso da fórmula de Cauchy para coeficientes de séries de potências.

Passo 2

Lembremos da fórmula de coeficiente de Taylor/Cauchy: se
g(t,x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(x)\,t^{n},
então
f_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint g(t,x)\,t^{-n-1}\,dt.
Comparando com a representação dada para P_{n}(x), vemos que a parte dentro da integral deve ser exatamente g(t,x). Logo,
g(t,x)=\bigl(1-2tx+t^{2}\bigr)^{-1/2}.

Passo 3

Portanto a expansão em série de potências de g(t,x) em torno de t=0 fornece
\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,t^{n}=\bigl(1-2tx+t^{2}\bigr)^{-1/2}.

Resposta

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)\,t^{n} \;=\;(1-2xt+t^{2})^{-\tfrac12}.}

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