Determine o número de lados de um polígono convexo regular cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo.

Passo 1

Temos um polígono convexo regular com n lados. Seu ângulo interno alphai e seu ângulo externo alphae satisfazem a relação
alphai = 5,alphae
Para resolver, vamos usar as fórmulas conhecidas de ângulo interno e externo em função de n.

Passo 2

A fórmula do ângulo interno de um polígono regular de n lados é
alphai = (n-2),180n
e a do ângulo externo é
alphae = 360n

Passo 3

Impondo alphai = 5,alphae, escrevemos
(n-2),180n ;=; 5 ,cdot, 360n
Multiplicando ambos os lados por n, fica
(n-2),180 = 5 times 360

Passo 4

Calculando 5times360 = 1800, a equação vira
(n-2),180 = 1800 Longrightarrow n-2 = 1800180 = 10 Longrightarrow n = 12

Resposta

O polígono possui 12 lados.

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