Determine um número natural N, sabendo que é um cubo perfeito, que admite 16 divisores e que, dividido por 43, gere um quociente primo e resto igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede um número natural N tal que:
1. N é cubo perfeito;
2. N tem exatamente 16 divisores positivos;
3. na divisão de N por 43 o resto é 1 e o quociente é primo.
Conteúdos necessários: função divisor, fatoração de cubos perfeitos e congruências modulares.

Passo 2

Como N é cubo perfeito, escrevemos
N = k^3
Seja a fatoração em primos de k: k=prod pi^bi, então
N=prod pi^3bi
e o número de divisores é
d(N)=prod(3bi+1)
Queremos d(N)=16. As partições de 16 como produto de inteiros > 1 são
16,8cdot2,4cdot4,4cdot2cdot2,2cdot2cdot2cdot2
Como cada expoente 3bi é múltiplo de 3, só há duas factíveis:
  • Um único primo com 3b1+1=16, isto é, 3b1=15. Então N=p^15=(p^5)^3.
  • Dois primos com 3b1+1=4 e 3b2+1=4, isto é, b1=b2=1. Então
N = p^3q^3 = (pq)^3

Passo 3

Analisamos a forma N=p^15. Para satisfazer Nequiv1pmod43 precisaríamos
p^15equiv1pmod43
e ainda (p^15-1)/43 primo. Testes com pequenos p mostram que não surge resto 1 com quociente primo em valores práticos. Partimos então para a segunda forma.

Passo 4

Na forma
N=(pq)^3,
a condição Nequiv1pmod43 vira
(pq)^3equiv1pmod43
No corpo (Bbb Z/43)^* de ordem 42, as soluções de x^3equiv1 são exatamente
xequiv1,;6,;36pmod43
Procuramos pq produto de dois primos = uma dessas classes. A opção mais simples é
pq=6=2cdot3

Passo 5

Tomando p=2 e q=3, temos
N=(2cdot3)^3=6^3=216
Verificações:
1. 216 é cubo perfeito ( 6^3).
2. Fatorando 216=2^3cdot3^3 e
d(216)=(3+1)(3+1)=16
3. Dividindo por 43:
216 = 43cdot5 + 1,
o quociente é 5 (primo) e o resto é 1.

Resposta

216

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