Determine um número natural
, sabendo que é um cubo perfeito, que admite 16 divisores e que, dividido por 43, gere um quociente primo e resto igual a 1 .
Passo 1
O enunciado pede um número natural
tal que:
.
é cubo perfeito;
.
tem exatamente
divisores positivos;
. na divisão de
por
o resto é
e o quociente é primo.
Conteúdos necessários: função divisor, fatoração de cubos perfeitos e congruências modulares.
Conteúdos necessários: função divisor, fatoração de cubos perfeitos e congruências modulares.
Passo 2
Como
é cubo perfeito, escrevemos
Seja a fatoração em primos de
:
, então
e o número de divisores é
Queremos
. As partições de
como produto de inteiros >
são
Como cada expoente
é múltiplo de
, só há duas factíveis:
- Um único primo com
, isto é, . Então . - Dois primos com
e , isto é, . Então
Passo 3
Analisamos a forma
. Para satisfazer
precisaríamos
e ainda
primo. Testes com pequenos
mostram que não surge resto
com quociente primo em valores práticos. Partimos então para a segunda forma.
Passo 4
Na forma
a condição
vira
No corpo
de ordem
, as soluções de
são exatamente
Procuramos
produto de dois primos
uma dessas classes. A opção mais simples é
Passo 5
Tomando
e
, temos
Verificações:
.
é cubo perfeito (
).
. Fatorando
e
o quociente é
(primo) e o resto é
.