Qual é o número de zeros do produto 1 times 2 times 3 times cdots times 216 (base 10), ao ser expresso na base 28 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros finais de
prodk=1^216k = 216!
quando escrito na base 28.
O conteúdo usado será valoração p-ádica e fórmula de zeros finais em base b.

Passo 2

Fatoramos a base 28 em primos:
28 = 2^2 cdot 7

Passo 3

Em geral, o número de zeros finais de n! na base b=prod pi^ei é
mini llfloor vpi(n!)eirrfloor
Para b=28 isso vira
minl(lfloor v2(216!)/2rfloor,;v7(216!)r)

Passo 4

Calculamos v2(216!) somando divisões sucessivas:
v2(216!) = llfloortfrac2162rrfloor + llfloortfrac2164rrfloor + llfloortfrac2168rrfloor + llfloortfrac21616rrfloor + llfloortfrac21632rrfloor + llfloortfrac21664rrfloor + llfloortfrac216128rrfloor =108+54+27+13+6+3+1 =212
Logo
lfloor v2(216!)/2rfloor = lfloor212/2rfloor = 106

Passo 5

Agora v7(216!):
v7(216!) = llfloortfrac2167rrfloor + llfloortfrac21649rrfloor + llfloortfrac216343rrfloor =30+4+0 =34

Passo 6

Portanto o número de zeros finais em base 28 é
min(106,,34) = 34

Resposta

34

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