Determine o número de soluçōes (
), com
e
, para cada uma das equaçōes:
b)
b)
Passo 1
O enunciado quer o número de soluções inteiras positivas
da equação diofantina
ou seja, quantas pares
com
e
satisfazem essa relação.
Passo 2
Verificamos primeiro a condição de existência de solução: precisamos de
dividindo
.
Usando o algoritmo de Euclides,
Usando o algoritmo de Euclides,
e
, logo há solução.
Passo 3
Para obter uma solução particular, achamos inteiros
tais que
Pela retaura do algoritmo de Euclides chega-se a
pois
Multiplicando por
, uma solução particular para o nosso caso é
pois
Passo 4
A solução geral de
vem somando ao par particular múltiplos de
, já que
Assim
para todo
.
Passo 5
Impondo
e
:
Logo todo
gera uma solução com
e
.
Resposta
Há infinitamente muitas soluções positivas.