Determine o número de soluçōes ( mathrmx0, y0 ), com mathrmx0>0 e mathrmy0>0, para cada uma das equaçōes:
b) 1000 x-761 y=7

Passo 1

O enunciado quer o número de soluções inteiras positivas (x0,y0) da equação diofantina
1000,x ;-;761,y ;=;7
ou seja, quantas pares (x,y)inZ^2 com x>0 e y>0 satisfazem essa relação.

Passo 2

Verificamos primeiro a condição de existência de solução: precisamos de gcd(1000,761) dividindo 7.
Usando o algoritmo de Euclides,
gcd(1000,761)=1
e 1mid7, logo há solução.

Passo 3

Para obter uma solução particular, achamos inteiros u,v tais que
1000,u - 761,v = 1
Pela retaura do algoritmo de Euclides chega-se a
u=121, v=159,
pois
1000cdot121 ;-;761cdot159 ;=;1
Multiplicando por 7, uma solução particular para o nosso caso é
x0=121cdot7=847, y0=159cdot7=1113,
pois
1000cdot847 - 761cdot1113 =7

Passo 4

A solução geral de
1000,x - 761,y =7
vem somando ao par particular múltiplos de
l(761,,1000r), já que
1000cdot761 - 761cdot1000=0
Assim
x = 847 + 761,t, y = 1113 + 1000,t,
para todo tinZ.

Passo 5

Impondo x>0 e y>0:
847 + 761,t >0 Longrightarrow t > -tfrac847761approx -1,11 Longrightarrow t>=-1,
1113 + 1000,t >0 Longrightarrow t > -tfrac11131000=-1,113 Longrightarrow t>=-1
Logo todo tin-1,0,1,2,dots gera uma solução com x>0 e y>0.

Resposta

Há infinitamente muitas soluções positivas.

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