Seja p um primo ímpar e sejam a eb inteiros tais que pła e płb. Mostre que:
(a bp)=(ap)(bp)
Portanto, em que condições ab é resto quadrático de p?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o símbolo de Legendre é multiplicativo, ou seja, para p primo ímpar e inteiros a,b com pnmid a e pnmid b vale
l(abpr)=l(apr)l(bpr)
Em seguida, devemos deduzir em que condições o produto ab é um resto quadrático módulo p. Vamos usar o critério de Euler para o símbolo de Legendre e propriedades de potências.

Passo 2

O critério de Euler afirma que, para é resto quadrático mod }p,\ -1\pmod p&se não é resto quadrático modp. \end{cases}]
E definimos

Passo 3

Usando o fato de que (ab)^p-12=a^p-12,b^p-12, temos
l(abpr);=;(ab)^p-12pmod p ;=;a^p-12,b^p-12pmod p ;=;l(apr)l(bpr)
Como cada símbolo de Legendre vale pm1, a congruência mod p implica igualdade das expressões.

Passo 4

O produto ab é resto quadrático mod p exatamente quando
l(abpr)=1
Pela multiplicatividade, isso equivale a
l(apr)l(bpr)=1,
ou seja, l(tfracapr) e l(tfracbpr) devem ser iguais, ambas 1 ou ambas -1.

Resposta

O símbolo de Legendre satisfaz
l(abpr)=l(apr)l(bpr)
Portanto, ab é resto quadrático mod p se, e só se, a e b são ambos restos quadráticos ou ambos não\mbox{-}restos quadráticos módulo p.

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