Seja p um primo ímpar e sejam a eb inteiros tais que pła e płb. Mostre que:
Portanto, em que condições ab é resto quadrático de p?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o símbolo de Legendre é multiplicativo, ou seja, para
primo ímpar e inteiros
com
e
vale
Em seguida, devemos deduzir em que condições o produto
é um resto quadrático módulo
. Vamos usar o critério de Euler para o símbolo de Legendre e propriedades de potências.
Passo 2
O critério de Euler afirma que, para é resto quadrático mod }p,\ -1\pmod p&se
não é resto quadrático modp. \end{cases}]
E definimos
Passo 3
Usando o fato de que
, temos
Como cada símbolo de Legendre vale
, a congruência mod
implica igualdade das expressões.
Passo 4
O produto
é resto quadrático mod
exatamente quando
Pela multiplicatividade, isso equivale a
ou seja,
e
devem ser iguais, ambas
ou ambas
.
Resposta
O símbolo de Legendre satisfaz
Portanto,
é resto quadrático mod
se, e só se,
e
são ambos restos quadráticos ou ambos não\mbox{-}restos quadráticos módulo
.