Determine o número de termos da progressão ( 1,3,9, ldots ) compreendidos entre 100 e 1000.

Passo 1

O enunciado nos dá uma progressão geométrica cujos três primeiros termos são 1,3,9, ou seja, primeiro termo a1=1 e razão r=3. Queremos contar quantos termos dessa sequência estão no intervalo de 100 até 1000. Para isso usaremos a expressão do termo geral e resolveremos uma desigualdade.

Passo 2

O termo geral de uma progressão geométrica é
an = a1 , r^,n-1,
logo, neste caso,
an = 3^,n-1
Precisamos dos n tais que
100 <= 3^,n-1 <= 1000

Passo 3

Aplicando logaritmo na base 3 aos três termos da desigualdade, obtemos
log3100 <= n-1 <= log31000
Usando log3x = dfracln xln 3, calculamos aproximadamente:
log3100 = ln 100ln 3approx 4,19, log31000 = ln 1000ln 3approx 6,29

Passo 4

Somando 1 a cada parte da desigualdade, fica
5,19 <= n <= 7,29
Os valores inteiros de n que satisfazem isso são n=6 e n=7.

Passo 5

Para n=6 e n=7 temos respectivamente
a6 = 3^5 = 243, a7 = 3^6 = 729,
os únicos termos entre 100 e 1000.

Resposta

Existem 2 termos da progressão geométrica entre 100 e 1000.

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