Prove que, se ( a1, a2, a3, ldots ) é uma P.G., com termos todos diferentes de zero, então (1a1, 1a2, 1a3, ldots) também é P.G.

Passo 1

O enunciado diz que (a1,a2,a3,ldots) é uma progressão geométrica cujos termos são todos diferentes de zero. Precisamos usar a definição de P.G.: uma sequência (an) é geométrica se existe uma constante q tal que, para todo n,
an+1=an,q
Nosso objetivo é mostrar que a sequência l(1/anr) também satisfaz essa condição para algum razão comum.

Passo 2

Como (an) é P.G. e anneq0, existe uma razão comum qneq0 tal que para todo n vale
an+1=an,q

Passo 3

Definimos bn=tfrac1an. Vamos calcular a razão entre termos consecutivos de (bn):
bn+1bn =tfrac1an+1tfrac1an =anan+1 =anan,q =1q,
que é constante e não depende de n.

Resposta

A sequência l(1/anr) é P.G. de razão tfrac1q, onde q é a razão da P.G. original.

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