1. Determine o número de vezes que o zero aparece de 0 até 10^ n (exclusive).

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas vezes o dígito zero aparece na escrita decimal de todos os números de 0 até 10^n (exclusive), ou seja, de 0 a 10^n-1. O conteúdo envolvido é contagem de dígitos em representação decimal, usando noções de combinatória e somatórios.

Passo 2

Primeiro, trate separadamente o número 0: ele tem exatamente um dígito “0”, então já começamos com 1 ocorrência.

Passo 3

Agora, para números com exatamente k dígitos, onde k>=2, eles vão de 10^k-1 até 10^k-1. São ao todo 9cdot10^k-1 números. Em cada um, somente as posições da 2ª à k-ésima podem ser zero, ou seja, k-1 posições por número, e em cada uma a chance de ser zero é 1/10. Logo, o total de zeros em todos esses k-dígitos é
9cdot10^k-1timesk-110 =9,(k-1),10^k-2

Passo 4

Somando para todos os k de 2 a n, temos
sumk=2^n9,(k-1),10^k-2 =sumj=1^n-19,j,10^j-1,
onde trocamos j=k-1. Sem esquecer de adicionar o 1 do número zero.

Passo 5

Para fechar em forma explícita, usamos a soma conhecida
sumj=1^mj,x^,j-1 =1-(m+1)x^m+m,x^m+1(1-x)^2,
com x=10 e m=n-1. Isso leva a
sumj=1^n-19,j,10^j-1 =1+9n,10^n-1-10^n9
Somando o 1 inicial, obtemos
1+1+9n,10^n-1-10^n9 =9 +1+9n,10^n-1-10^n9 =9n,10^n-1-10^n+109

Resposta

9n,10^n-1-10^n+109

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