- Determine o número de vezes que o zero aparece de 0 até
(exclusive).
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas vezes o dígito zero aparece na escrita decimal de todos os números de
até
(exclusive), ou seja, de
a
. O conteúdo envolvido é contagem de dígitos em representação decimal, usando noções de combinatória e somatórios.
Passo 2
Primeiro, trate separadamente o número
: ele tem exatamente um dígito “0”, então já começamos com
ocorrência.
Passo 3
Agora, para números com exatamente
dígitos, onde
, eles vão de
até
. São ao todo
números. Em cada um, somente as posições da 2ª à
-ésima podem ser zero, ou seja,
posições por número, e em cada uma a chance de ser zero é
. Logo, o total de zeros em todos esses
-dígitos é
Passo 4
Somando para todos os
de
a
, temos
onde trocamos
. Sem esquecer de adicionar o
do número zero.
Passo 5
Para fechar em forma explícita, usamos a soma conhecida
com
e
. Isso leva a
Somando o 1 inicial, obtemos