Determine onze números em P.G., sabendo que a soma dos dez primeiros é 3069 e a soma dos dez últimos é 6138.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine onze termos de uma progressão geométrica sabendo que a soma dos dez primeiros termos é 3069 e a soma dos dez últimos termos é 6138. Vamos usar a fórmula da soma de termos de uma P.G. finita:
Sn = a,r^n - 1r - 1,
onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 2

Seja a o primeiro termo e r a razão.
A soma dos dez primeiros termos é
S10 = a,r^10 - 1r - 1 = 3069
A soma dos dez últimos termos (termos de 2 a 11) é
a r + a r^2 + cdots + a r^10 = a r,r^10-1r-1 = 6138

Passo 3

Dividindo a soma dos dez últimos pela soma dos dez primeiros, obtemos
a r,r^10-1r-1a,r^10-1r-1 = r = 61383069 = 2
Logo, a razão é r=2.

Passo 4

Substituindo r=2 em S10, temos
a,2^10 - 12 - 1 = a,(1024 - 1) = 1023,a = 3069
Assim,
a = 30691023 = 3

Passo 5

Com a=3 e r=2, os onze termos são
3,;6,;12,;24,;48,;96,;192,;384,;768,;1536,;3072

Resposta

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072.

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