Prove que em toda P.G. Sn^2+S2 n^2=Sn cdot(S2 n+S3 n).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em qualquer progressão geométrica de primeiro termo a e razão r, se definirmos
Sk = soma dos (k) primeiros termos
então vale
Sn^2 + S2n^2 ;=; Sn,l(S2n + S3nr)
Para isso vamos usar a fórmula geral da soma de uma P.G. e manipulações algébricas simples.

Passo 2

Lembrando que, para rneq1,
Sk = a + ar + cdots + ar^,k-1 = a,r^k-1r-1,
podemos também ver direto que, para todo inteiro k,
Skn = a + ar + cdots + ar^kn-1 = l(a + ar + cdots + ar^n-1r),l(1 + r^n + cdots + r^(k-1)nr) = Sn;l(1 + r^n + cdots + r^(k-1)nr)
Em particular,
S2n = Sn,(1 + r^n), S3n = Sn,(1 + r^n + r^2n)

Passo 3

Agora calculamos o lado esquerdo da identidade:
Sn^2 + S2n^2 = Sn^2 + l[Sn,(1 + r^n)r]^2 = Sn^2,l[1 + (1 + r^n)^2r]
Expandindo,
1 + (1 + r^n)^2 = 1 + l(1 + 2r^n + r^2nr) = 2 + 2r^n + r^2n
Logo
Sn^2 + S2n^2 = Sn^2,l(2 + 2r^n + r^2nr)

Passo 4

Calculamos o lado direito:
Sn,l(S2n + S3nr) = Sn,l[Sn,(1 + r^n) + Sn,(1 + r^n + r^2n)r] = Sn^2,l[(1 + r^n) + (1 + r^n + r^2n)r]
Somando os parênteses dá
(1 + r^n) + (1 + r^n + r^2n) = 2 + 2r^n + r^2n,
e portanto
Sn,l(S2n + S3nr) = Sn^2,l(2 + 2r^n + r^2nr)
Comparando com o resultado do Passo 3, vemos que os dois lados coincidem.

Resposta

A identidade está provada, pois
Sn^2 + S2n^2 = Sn,l(S2n + S3nr)

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