Se S3=21 e S4=45 são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma progressão geométrica cujo termo inicial é 3, determine a soma dos cinco primeiros termos da progressão.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica de primeiro termo a1=3 e razão r desconhecida, cujas somas dos três e quatro primeiros termos são
S3=21,
S4=45
Queremos a soma dos cinco primeiros termos S5. Para isso, vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sn=a1,r^n-1r-1

Passo 2

Aplicando essa fórmula em n=3, obtemos
S3=3,r^3-1r-1=21
Como r^3-1r-1=r^2+r+1, isto dá
3,(r^2+r+1)=21 Longrightarrow r^2+r+1=7 Longrightarrow r^2+r-6=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2+r-6=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r=-1pmraiz1+242 =-1pm52,
logo as raízes são r=2 e r=-3.

Passo 4

Para decidir qual razão vale, usamos S4. Se r=2,
S4=3,2^4-12-1 =3cdot16-11 =3cdot15=45,
coincidindo com o enunciado. Já r=-3 não daria S4=45. Assim, a razão é r=2.

Passo 5

Agora calculamos
S5=3,2^5-12-1 =3cdot(32-1) =3cdot31 =93

Resposta

A soma dos cinco primeiros termos é 93.

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