Determine o perímetro de um triângulo, sabendo que a mediana e a altura, relativas à hipotenusa, medem respectivamente 4 cm e 2 raiz3 cm.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo retângulo (já que menciona hipotenusa) em que a mediana relativa à hipotenusa mede 4 cm e a altura relativa à hipotenusa mede 2raiz3 cm. Vamos usar as propriedades do triângulo retângulo:
  • A mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa.
  • A altura relativa à hipotenusa satisfaz h = abc, onde a e b são os catetos e c a hipotenusa.

Passo 2

Da mediana à hipotenusa temos
mediana = c2 Longrightarrow 4 = c2 Longrightarrow c = 8 cm

Passo 3

Da altura relativa à hipotenusa usamos
h = abc Longrightarrow 2raiz3 = ab8 Longrightarrow ab = 16raiz3

Passo 4

Como é triângulo retângulo, vale
a^2 + b^2 = c^2 = 8^2 = 64
Para encontrar a+b, note que
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 64 + 2cdot(16raiz3) = 64 + 32raiz3
Observe que
64 + 32raiz3 = 16,(4 + 2raiz3) = 16,(raiz3+1)^2,
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a + b = 4(raiz3+1)

Passo 5

O perímetro do triângulo é
P = a + b + c = 4(raiz3+1) + 8 = 4raiz3 + 4 + 8 = 12 + 4raiz3 cm

Resposta

12 + 4raiz3 cm

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