Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6 .
Passo 1
Temos uma pirâmide de base hexagonal regular de aresta
e arestas laterais todas iguais a
. Queremos o raio
da esfera que fica tangente à base e a cada uma das
faces laterais. Para resolver isso usaremos:
. Área da base (hexágono regular).
. Altura da pirâmide (usando o raio da circunferência circunscrita à base e a aresta lateral).
. Volume da pirâmide.
. Área total (base
faces laterais).
. Fórmula do raio da esfera inscrita num poliedro convexo
.
Passo 2
Cálculo da área da base e da altura da pirâmide.
O hexágono regular de aresta tem área
O hexágono regular de aresta
Como
,
O raio da circunferência que passa pelos vértices da base é
. Em cada face lateral, a aresta lateral de comprimento
forma, com esse raio de
, um triângulo retângulo cuja altura (que é a altura da pirâmide) vale
Passo 3
Cálculo do volume da pirâmide.
Passo 4
Cálculo da área lateral total.
Cada face lateral é um triângulo isósceles de base e lados iguais a
. A altura
desse triângulo (slant height) é
Cada face lateral é um triângulo isósceles de base
A área de uma face é
logo a área lateral total (
faces) é
Passo 5
Área total e raio da esfera inscrita.
Para um poliedro convexo com volume
e área total
, o raio da esfera inscrita é
Racionalizando o denominador: