Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6 .

Passo 1

Temos uma pirâmide de base hexagonal regular de aresta ,2 e arestas laterais todas iguais a ,6. Queremos o raio r da esfera que fica tangente à base e a cada uma das 6 faces laterais. Para resolver isso usaremos:
1. Área da base (hexágono regular).
2. Altura da pirâmide (usando o raio da circunferência circunscrita à base e a aresta lateral).
3. Volume da pirâmide.
4. Área total (base + faces laterais).
5. Fórmula do raio da esfera inscrita num poliedro convexo r=3VAtotal.

Passo 2

Cálculo da área da base e da altura da pirâmide.
O hexágono regular de aresta a tem área
Abase = 3raiz32,a^2
Como a=2,
Abase = 3raiz32cdot 2^2 = 6raiz3
O raio da circunferência que passa pelos vértices da base é Rcirc=a=2. Em cada face lateral, a aresta lateral de comprimento 6 forma, com esse raio de 2, um triângulo retângulo cuja altura (que é a altura da pirâmide) vale
h = raiz6^2 - 2^2 = raiz36-4 = raiz32 = 4raiz2

Passo 3

Cálculo do volume da pirâmide.
V = 13,Abasetimes h = 13cdot 6raiz3cdot 4raiz2 = 8raiz6

Passo 4

Cálculo da área lateral total.
Cada face lateral é um triângulo isósceles de base 2 e lados iguais a 6. A altura ls desse triângulo (slant height) é
ls = raiz6^2 - 1^2 = raiz36-1 = raiz35
A área de uma face é
12cdot 2 cdot raiz35 = raiz35,
logo a área lateral total ( 6 faces) é
Alat = 6raiz35

Passo 5

Área total e raio da esfera inscrita.
Atotal = Abase + Alat = 6raiz3 + 6raiz35
Para um poliedro convexo com volume V e área total Atotal, o raio da esfera inscrita é
r = 3VAtotal = 3cdot 8raiz66l(raiz3+raiz35r) = 4raiz6raiz3+raiz35
Racionalizando o denominador:
r = 4raiz6,(raiz35-raiz3)(raiz35+raiz3)(raiz35-raiz3) = 4raiz6,(raiz35-raiz3)35-3 = raiz6,(raiz35-raiz3)8

Resposta

r = raiz6,l(raiz35-raiz3r)8

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