Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre os volumes de dois cilindros equiláteros (height = diâmetro da base) relativos a uma esfera de raio R: um cilindro circunscrito à esfera e outro cilindro inscrito na esfera. Vamos usar geometria espacial e a relação de uma reta secante à esfera para montar as fórmulas de volume.

Passo 2

Cilindro equilátero circunscrito à esfera: para circunscrever a esfera de raio R, o cilindro deve ter raio da base igual a R e altura h tal que
h = 2r = 2R
O volume desse cilindro é
Vcirc = pi r^2,h = pi R^2 cdot (2R) = 2pi R^3

Passo 3

Cilindro equilátero inscrito na esfera: um cilindro de raio r e altura h inscrito numa esfera de raio R satisfaz
r^2 + l(tfrach2r)^2 = R^2
Como é equilátero, h=2r, logo tfrach2=r e
R^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 Longrightarrow r = Rraiz2, h = 2r = 2Rraiz2 = Rraiz2
O volume do cilindro inscrito é
Vinsc = pi r^2,h = pi l(tfracR^22r),(Rraiz2) = pi R^3raiz22

Passo 4

Agora basta computar a razão pedida:
VcircVinsc = 2pi R^3 pi R^3raiz22 = 2pi R^3 cdot 2pi R^3raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2

Resposta

A razão entre os volumes é 2raiz2.

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