Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre os volumes de dois cilindros equiláteros (height
diâmetro da base) relativos a uma esfera de raio
: um cilindro circunscrito à esfera e outro cilindro inscrito na esfera. Vamos usar geometria espacial e a relação de uma reta secante à esfera para montar as fórmulas de volume.
Passo 2
Cilindro equilátero circunscrito à esfera: para circunscrever a esfera de raio
, o cilindro deve ter raio da base igual a
e altura
tal que
O volume desse cilindro é
Passo 3
Cilindro equilátero inscrito na esfera: um cilindro de raio
e altura
inscrito numa esfera de raio
satisfaz
Como é equilátero,
, logo
e
O volume do cilindro inscrito é
Passo 4
Agora basta computar a razão pedida:
Resposta
A razão entre os volumes é
.